Método Simplex

Exprese el modelo matemático en la forma estándar.
Todas las restricciones del modelo matemático deben convertirse en igualdades.
• No debe haber ningún lado derecho negativo.
• Si es “<=” entonces se agrega una Hi
• Si es “>=” entonces se agregan Ai - Si
• Si es “ =” entonces se agrega una Ai
2. Elabore la tabla inicial del simplex:
Note que en la fila superior de la matriz se enlistan todas las variables del problema ( las de decisión y las agregadas). Además observe que en la columna izquierda, es decir en la base, no se colocan las variables de decisión ni las sobrantes. Esto es en la tabla inicial, pero no implica que dichas variables no puedan entrar a la base en tablas posteriores.
Base X1 X2 H1 H2 H3 H4 Z LD
H1 a11 a12 1 0 0 0 0 b1
H2 a21 a22 0 1 0 0 0 b2
H3 a31 a32 0 0 1 0 0 b3
H4 a41 a42 0 0 0 1 0 b4
Z -c1 -c2 0 0 0 0 1 0
3. Determine la variable no básica que entra:
Se elige como la variable que entra en maximización (minimización) como la variable no básica que tiene el indicador más negativo (positivo), en la fila de coeficientes de la Función Objetivo (Z). Los empates se rompen arbitrariamente.
4. Determine la variable que sale:
Se determina tomando el cociente de los valores en la columna del lado derecho (LD) de cada restricción entre los coeficientes positivos de la columna de la variable que entra. Si el coeficiente es “cero o negativo” entonces el cociente se considera infinito. La variable básica asociada al cociente más pequeño (en ambos casos, maximización y minimización) es la variable que sale. Los empates se rompen arbitrariamente. Sin embargo, en caso de haber empate y que una de las variables involucradas sea una variable artificial, se elige a ésta como la variable saliente.
5. Aplicación del método Gauss-Jordan (o de operaciones sobre renglones).
Mediante este procedimiento se elimina (en realidad se sustituye) la variable que entra, en todas las filas de la tabla. Es decir, se tiene que convertir la columna de la variable que entra en un vector columna unitario (un 1 y puros ceros). Esto se logra de la siguiente manera:
5.1. El primer paso en la eliminación de Gauss-Jordan es multiplicar la fila pivote por el inverso multiplicativo del elemento pivote (para formar la unidad) y reemplazar el nombre de la variable que sale por el nombre de la variable que entra.
5.2. La eliminación (o sustitución) se logra sumando un múltiplo adecuado de la fila pivote ( elemento pivote = 1) a cada una de las demás filas.
Es decir, se multiplica la fila pivote por el negativo del número que deseamos que se convierta en cero y el resultado de esta multiplicación se suma a la fila donde queremos que aparezca el cero.
1. Criterio para terminar el proceso.
Los pasos 2, 3, 4 y 5 se repiten hasta que todos los indicadores de la función objetivo sean no negativos (si es de maximización) o sean no positivos (si es de minimización).
Cuando esto ocurre se dice que se ha llegado a la solución óptima del
problema.
Variables artificiales
En los problemas anteriores del método simplex hemos utilizado las variables de holgura como una solución inicial factible. Sin embargo, si la restricción original es una ecuación (“=”) o es del tipo "" , ya no tenemos una solución factible inicial preparada.
Por lo que es necesario generar una solución inicial. La idea de utilizar Variables Artificiales es muy simple. Es necesario sumar una variable no negativa a todas la ecuaciones que no tengan variables básicas iniciales. Las variables agregadas desempeñarán la misma función que una variable de holgura. Sin embargo, como estas variables no tienen un significado físico desde el punto de vista del problema original ( de aquí el nombre de "artificial"), el procedimiento será valido sólo si hacemos que estas variables sean cero cuando se llegue a la tabla óptima.

Algoritmo del Método de la Gran M
1. Pasar a la forma estándar el modelo matemático.
2. Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de holgura.
3. Se deben penalizar a las variables artificiales en la función objetivo asignándoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un número muy grande. ( En los modelos de Minimización la penalización para cada variable artificial se suma y en los de Maximización se restan).
4. En la función objetivo no deben aparecer variables básicas por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las “M” de las columnas de las artificiales).
5. Con la solución inicial artificial se aplica el método simplex de la forma acostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solución.
 Notas:
• Cuando una solución contiene variables artificiales básicas igual a cero entonces la solución sí es factible con respecto al problema original.
• Si el problema no tiene solución factible, cuando menos una variable artificial será positiva en la solución óptima.
Cuando tenemos restricciones de igualdad, de mayor o igual; cuando algunas de las bi son negativas o queremos minimizar, para usar el simplex, debemos identificar una solución básica inicial.
Se revisa el problema añadiendo variables artificiales, sólo con el propósito de que sea la variable básica inicial para esa ecuación. Son variables no-negativas y se altera la función objetivo para que imponer una penalidad exhorbitante en que estas variables artificiales tengan valores mayores de cero. El método del simplex entonces hace desaparecer estas variables hasta que el problema real es resuelto.

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3  950
2 X1 + 2 X2 +  410
X1 + + 2 X3  610
X1 , X2 , X3  0

V B Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 SOLUCION
Z 1 -40 -60 -50 0 0 0 0
X4 0 10 4 2 1 0 0 950
X5 0 2 2 0 0 1 0 410
X6 1 1 0 2 0 0 1 610

Z 1 20 0 -50 0 30 0 12300 60RP + FO
X4 0 6 0 2 1 -2 0 130 -4RP + R1
X2 0 1 1 0 0 1/2 0 205 1/2RP
X6 0 1 0 2 0 0 1 610

Z 1 170 0 0 25 -20 0 15550 50RP + FO
X3 0 3 0 1 1/2 -1 0 65 1/2 RP
X2 0 1 1 0 0 1/2 0 205
X6 0 -5 0 0 -1 2 1 480 -2RP + 3

Z 1 120 0 0 15 0 20 20350 20RP + FO
X3 0 1/2 0 1 0 0 0 305 RP + R1
X2 0 9/4 1 0 1/4 0 -1/2 85 1/2RP + R2
X5 0 -5/2 0 0 -1/2 1 1 240 1/2RP

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950
2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410
X1 + + 2 X3 + X6 = 610
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6  0

• Solución básica actual:
X4 = 950 min 950/4 , 410/2 , -
X5 = 410 min 237.5 , 205 , -
X6 = 610
• Solución básica actual:
X4 = 130 min 130/2 , - , 610/2
X2 = 205 min 65 , - , 305
X6 = 610
• Solución básica actual:
X3 = 65 min - , 205/0.5 , 480/2
X2 = 205 min - , 410 , 240
X6 = 480
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 20350
X2* = 85
X3* = 305
X5* = 240
X1* = X4* = X6* = 0
• Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
Z = 4 (0) + 3 (85) + 50(305)
Z = 20350
• Comprobación en las restricciones:
10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4
10(0) + 4( 85) + 2(305) + 0 = 950

2 X1 + 2 X2 + X5
2(0) + 2(85) + 240 = 410

X1 + 2 X3 + X6
0 + 2(305) + 0 = 610

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 5X1 + X2 + 3X3
s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3  4
X1 + X2 + 4 X3  4
X1 , X2 , X3  0

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION
Z 1 -5 -1 -3 0 0 0
X4 0 2 -1 2 1 0 4
X5 0 1 1 4 0 1 4

Z 1 0 -7/2 2 5/2 0 10 5RP + FO
X1 0 1 -1/2 1 1/2 0 2 1/2RP
X5 0 0 3/2 3 -1/2 1 2 -RP + R2

Z 1 0 0 9 4/3 7/3 44/3 7/2RP + FO
X1 0 1 0 2 1/3 1/3 8/3 1/2RP + R1
X2 0 0 1 2 -1/3 2/3 4/3 2/3RP

Max Z - 5X1 - X2 - 3X3
s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 + X4 = 4
X1 + X2 + 4 X3 + X5 = 4
X1 , X2 , X3 , X4 , X5  0
• Solución básica actual:
X4 = 4 min 4/2 , 4/1
X5 = 4 min 2 , 4
• Solución básica actual:
X1 = 2 min  - , 2/1.5
X5 = 2 min  - , 1.33
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 44/3
X1* = 8/3
X2* = 4/3
X3* = X4* = X5* = 0
• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 5X1 + X2 + 3X3
Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0
Z = 44/3
• Comprobación en las restricciones:
2 X1 - X2 + 2 X3 + X4
2 (8/3) – 4/3 + 2 (0) + 0 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5
8/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 25X1 + 50X2
s.a. 2 X1 + 2X2  1000
3 X1  600 X1 + 3X2  600
X1 , X2  0

VB Z X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION
Z 1 -25 -50 0 0 0 0
X3 0 2 2 1 0 0 1000
X4 0 3 0 0 1 0 600
X5 0 1 3 0 0 1 600

Z 1 -25/3 0 0 0 50/3 10000 50RP + FO
X3 0 4/3 0 1 0 -2/3 600 -2RP + R1
X4 0 3 0 0 1 0 600
X2 0 1/3 1 0 0 1/3 200 1/3RP

Z 1 0 0 0 23/9 50/3 35000/3 25/3RP + FO
X3 0 0 0 1 -4/9 -2/3 1000/3 -4/3RP + R1
X1 0 1 0 0 1/3 0 200 1/3RP
X2 0 0 1 0 -1/3 1/3 400/3 -1/3RP + R3

Max Z - 25X1 - 50X2
s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 = 1000
3 X1 + X4 = 600
X1 + 3X2 + X5 = 600
X1 , X2 , X3 , X4 , X5  0

• Solución básica actual:
X3 = 1000 min 1000/2 , - , 600/3
X4 = 600 min 500 , - , 200
X5 = 600
• Solución básica actual:
X3 = 600 min 600/4/3 , 600/3 , 200/1/3
X4 = 600 min 450 , 200 , 600
X2 = 200
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 35000/3
X1* = 200
X2* = 400/3
X3* = 1000/3
X4* = X5* = 0
• Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 25X1 + 50X2
Z = 25 (200) + 50 (400/3)
Z = 35000/3
• Comprobación en las restricciones:
2 X1 + 2X2 + X3
2 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 1000

3 X1 + X4
3 (200) + 0 = 600

X1 + 3X2 + X5
200 + 3 (400/3) + 0 = 600

Considere el siguiente problema.
Min W = 3X1 + 5X2 + X3
s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8
X1 , X2 , X3  0
Dual
Max Z= 18Y
s.a. 4Y1  3
2Y1  5
Y1  1
Y1  0
Para el primal
Min W –3X1 – 5X2 –X3 =0
s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1  0

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION
W 1 -3 -5 -1 0 0
S1 0 -4 -2 -1 1 -18

El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.
Para el dual
Max Z- 18Y1 =0
s.a. 4Y1 + S1 = 3
2Y1 + S2 = 5
Y1 + S3 = 1
Y1 , S1 ,S2, S3  0

VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -18 0 0 0 0
S1 0 4 1 0 0 3
S2 0 2 0 1 0 5
S3 0 1 0 0 1 1
VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 0 18/4 0 0 27/2 18/4RP+FO
Y1 0 1 1/4 0 0 3/4 1/4RP
S2 0 0 1/2 -1 0 -7/2 1/2RP-R2
S3 0 0 1/4 0 -1 -1/4 1/4RP-R3

• Solución básica actual:
S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , 1/1
S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , 1
S3 = 1
• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 27/2
Y1* = 3/4
S2* = S3 =0

• Comprobación en las restricciones:
Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x1 a 4 de la función objetivo y resolver el primal y el dual.
Min W = 4X1 + 5X2 + X3
s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8
X1 , X2 , X3  0

Dual
Max Z= 18Y
s.a. 4Y1  4
2Y1  5
Y1  1
Y1  0
Para el primal
Min W –4X1 – 5X2 –X3 =0
s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1  0

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION
W 1 -4 -5 -1 0 0
S1 0 -4 -2 -1 1 -18

El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.
Para el dual:
Max Z- 18Y1 =0
s.a. 4Y1 + S1 = 4
2Y1 + S2 = 5
Y1 + S3 = 1
Y1 , S1 ,S2, S3  0

VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -18 0 0 0 0
S1 0 4 1 0 0 4
S2 0 2 0 1 0 5
S3 0 1 0 0 1 1
VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 0 18/4 0 0 18 18/4RP+FO
Y1 0 1 1/4 0 0 1 1/4RP
S2 0 0 1/2 -1 0 -3 1/2RP-R2
S3 0 0 1/4 0 -1 0 1/4RP-R3

• Solución básica actual:
S1 = 4 min 4/4 , 5/2 , 1/1
S2 = 5 min 1 , 2.5 , 1
S3 = 1
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 18
Y1* = 1
S2* = S3 =0
• Comprobación en las restricciones:
Z = 18(1) = 18

4(1) = 4=4 ACTIVA

2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

1 = 1 ACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x3 a –1 y a la función objetivo y resolver el primal y el dual.
Min W = 3X1 + 5X2 *- X3
s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 1 8
X1 , X2 , X3  0
Dual
Max Z= 18Y
s.a. 4Y1  3
2Y1  5
Y1  -1
Y1  0
Para el primal
Min W –3X1 – 5X2 +X3 =0
s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1  0

VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION
W 1 -3 -5 1 0 0
S1 0 -4 -2 -1 1 -18
VB W X1 X2 X3 S1 SOLUCION
W 1 -7 -7 0 1 -18
X3 0 4 2 1 -1 18

-RP+FO

-RP

• Solución básica actual:
S1 = -18 min -18/-1 
min 18
• Por lo tanto la solución óptima es:
W* = -18
X3* = 18
X1*, X2*, S1*,= 0
• Comprobación en las restricciones:
W = 3(0) + 5(0) – 18 = -18

4(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVA

Para el dual:
Max Z- 18Y1 =0
s.a. 4Y1 + S1 = 3
2Y1 + S2 = 5
Y1 + S3 = -1
Y1 , S1 ,S2, S3  0

VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -18 0 0 0 0
S1 0 4 1 0 0 3
S2 0 2 0 1 0 5
S3 0 1 0 0 1 -1
VB Z Y1 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 0 18/4 0 0 27/2 18/4RP+FO
Y1 0 1 1/4 0 0 3/4 1/4RP
S2 0 0 1/2 -1 0 -7/2 1/2RP-R2
S3 0 0 1/4 0 -1 -1/4 1/4RP-R3

• Solución básica actual:
S1 = 3 min 3/4 , 5/2 , -1/1
S2 = 5 min 0.75 , 2.5 , -
S3 = -1
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 27/2
Y1* = 3/4
S2* = S3 *=0
• Comprobación en las restricciones:
Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3=3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVIT

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3
s.a. 2 X1 + X2  5
X2 + 3X3  4
X1 , X2 , X3  0

VB W X1 X2 X3 X4 X5 SOLUCION
W 1 -6 -8 -16 0 0 0
X4 0 2 1 0 1 0 5
X5 0 0 1 3 0 1 4

W 1 -6 -8/3 0 0 16/3 64/3 16RP + FO
X4 0 2 1 0 1 0 5
X3 0 0 1/3 1 0 1/3 4/3 1/3 RP

W 1 0 1/3 0 3 16/3 109/3 6RP + FO
X1 0 1 1/2 0 1/2 0 5/2 1/2 RP
X3 0 0 1/3 1 0 1/3 4/3

Min W - 6X1 - 8X2 - 16X3
s.a. 2 X1 + X2 + X4 = 5
X2 + 3X3 + X5 = 4
X1 , X2 , X3 , X4 , X5  0
• Solución básica actual:
X4 = 5 min - , 4/3
X5 = 4 min - , 1.33
• Solución básica actual:
X4 = 5 min 5/2 , -
X3 = 4/3 min 2.5 , -
• Por lo tanto la solución óptima es:
W* = 109/3
X1* = 5/2
X3* = 4/3
X2* = X4* = X5* = 0
• Comprobación en la función objetivo:
Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3
W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)
W = 109/3
• Comprobación en las restricciones:
2 X1 + X2 + X4
2 ( 5/2) + 0 + 0 = 5

X2 + 3X3 + X5
0 + 3 (4/3) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Min W = X1 + 3X2 + 2X3
s.a. X1 + 4X2  8
2 X1 + X3  10
2 X1 + 3X2  15
X1 , X2 , X3  0

VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6 SOLUCION
W 1 -1 -3 -2 0 0 0 0
X4 0 1 4 0 1 0 0 8
X5 0 2 0 1 0 1 0 10
X6 0 2 3 0 0 0 1 15

W 1 -1/4 0 -2 3/4 0 0 6 3RP + FO
X2 0 1/4 1 0 1/4 0 0 2 1/4 RP
X5 0 2 0 1 0 1 0 10
X6 0 5/4 0 0 -3/4 0 1 9 -3RP + R3

W 1 15/4 0 0 3/4 2 0 26 2RP + FO
X2 0 1/4 1 0 1/4 0 0 2
X3 0 2 0 1 0 1 0 10
X6 0 5/4 0 0 -3/4 0 1 9

Min W - X1 - 3X2 - 2X3
s.a. X1 + 4X2 + X4 = 8
2 X1 + X3 + X5 = 10
2 X1 + 3X2 + X6 = 15
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6  0

• Solución básica actual:
X4 = 8 min 8/4 , - , 15/3
X5 = 10 min 2 , - , 5
X6 = 15
• Solución básica actual:
X2 = 2 min - , 10/1 , -
X5 = 10 min - , 10 , -
X6 = 9
• Por lo tanto la solución óptima es:
W* = 26
X2* = 2
X3* = 10
X6* = 9
X1* = X4* = X5* = 0
• Comprobación en la función objetivo:

Min W = X1 + 3X2 + 2X3
W = 0 + 3 (2) + 2 (10)
W = 26
• Comprobación en las restricciones:
X1 + 4X2 + X4
0 + 4 (2) + 0 = 8

2 X1 + X3 + X5
2 (0) + 10 + = 10

2 X1 + 3X2 + X6
2 (0) + 3 (2) + 9 = 15
Use variables artificiales y póngalas en la tabla inicial de:
a) Formule el problema dual
b) Elabore la tabla inicial para el problema dual

Min W = 6X1 + X2 + 3X3 - 2X4 Min W – 6X1 – X2 – 3X3 + 2X4 = 0

s.a. X1 + X2 s.a. X1 + X2 + X6 = 42
2 X1 + 3X2 – X3 - X4  10 2X1 + 3X2 – X3 – X4 – X5 + X7 = 10
X1 + 2X3 + X4 =30 X1 + 2X3 + X4 + X8 = 30
X1 , X2 , X3 , X4  0

VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6
X7
X8 SOLUCION
W 1 -6 -1 -3 2 0 0 -M -M 0
X6 0 1 1 0 0 0 1 0 0 42
X7 0 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10
X8 0 1 0 2 1 0 0 0 1 30
VB W X1 X2 X3 X4 X5 X6
X7
X8 SOLUCION
W 1 3M-6 3M-1 M-3 2 -M 0 0 0 40M
X6 0 1 1 0 0 0 1 0 0 42
X7 0 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10
X8 0 1 0 2 1 0 0 0 1 30

X1 X2 X3 X4 X5 X6
X7
X8 SOLUCION
M 2 3 -1 -1 -1 0 1 0 10
2M 3M -M -M -M 0 M 0 10M
-6 -1 -3 2 0 0 -M -M 0
2M-6 3M-1 -M-3 -M+2 -M 0 0 -M 10M
X1 X2 X3 X4 X5 X6
X7
X8 SOLUCION
M 1 0 2 1 0 0 0 1 30
M 0 2M M 0 0 0 M 30M
2M-6 3M-1 -M-3 -M+2 -M 0 0 -M 10M
3M-6 3M-1 M-3 2 -M 0 0 0 40M

Considérese el problema siguiente:
c) Formule el problema dual
d) Elabore la tabla inicial para el problema dual
Min W = 3X1 - 5 X2 + 4X3
s.a. 4 X1 - 2 X2 + X3 = 20
3 X1 + 4X3  12
-2X2 + 7X3  7
X1 , X2 , X3  0

DUAL
Max Z = 20Y1 + 12Y2 + 7Y3

s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3
-2Y1 - 2Y3 -5
Y1 + 4Y2 + 7Y3 -4
Y1 =NR Y2 , Y3  0

VB Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 SOLUCION
Z 1 -20 -12 -7 0 0 0 0
Y4 0 4 3 0 1 0 0 3
Y5 0 -2 0 -2 0 1 0 -5
Y8 0 1 4 7 0 0 1 4

Use variables artificiales y el método simplex para resolver el problema lineal:
Min W = -2X1 - X2 – 4X3 - 5X4
s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4  20
2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 -10 X1 , X2 , X3 , X4  0

V B W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL.
W 1 2 1 4 5 0 0 -M 0 0
S1 0 1 3 2 5 10 1 0 0 20
R2 0 2 16 1 1 -1 0 1 0 4
S3 0 3 -1 -5 10 0 0 0 1 -10
VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL.
W 1 2M+2 16M+1 M+4 M+5 -M 0 0 0 4M
S1 0 1 3 2 5 10 1 0 0 20
R2 0 2 16 1 1 -1 0 1 0 4
S3 0 3 -1 -5 10 0 0 0 1 -10
VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 R2 S3 SOL.
W 1 15/8 0 63/16 79/16 1/16 0 -M-1/16 0 -1/4 (-M-1/16)RP+FO
S1 0 - -5/8 0 -29/16 -77/16 -163/16 -1 3/16 0 -77/4 3/16RP-R1
R2 0 1/8 1 1/16 1/16 -1/16 0 1/16 0 1/4 1/16 RP
S3 0 25/8 0 -79/16 161/16 -1/16 0 1/16 1 -39/4 1/16 RP+R3
Min W + 2X1 + X2 + 4X3 + 5X4= 0
s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 + S1 = 20
2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 -S2 + R2 = 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 +S3 = -10
X1 , X2 , X3 , X4  0

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950
2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410
X1 + + 2 X3 + X6 = 610
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6  0

• Solución básica actual:
S1 = 20 min 20/3 , 1/16 , -10/-1
R2 = 4 min 6.6 , 0.25 , 10
S3 = -10
• Por lo tanto la solución óptima es:
W* = -1/4
X2* = 1/4
S3* = -39/4
X1*, X3*, X4*, S1*, S2* = 0
• Comprobación en las restricciones:
W = -2(0) – 1/4 + 4(0) – 5(0) = -1/4

0 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4  20 INACTIVA Y DEFICIT

2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA

3(0) –1/4 – 5(0) + 10(0) = -1/4  -10

Por el metodo simplex
Min W+2X1+X2+4X3+5X4=0
s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 + S1 =20
-2 X1 - 16X2 - X3 - X4 + S1 =-4
3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 + S3 =-10
X1 , X2 , X3 , X4  0 S1 ,S2 ,S3  0

VB W X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 SOL.
W 1 2 1 4 5 0 0 0 0
S1 0 1 3 2 5 1 0 0 20
S2 0 -2 -16 -1 -1 0 1 0 -4
S3 0 3 -1 -5 10 0 0 1 -10
VB W X1 X2 X3 X4 S2 S1 S3 SOL.
W 1 -8 -79 -1 0 0 5 0 -20 5RP + FO
S1 0 -9 -77 -3 0 1 0 0 0 5RP+R1
X4 0 2 16 1 1 0 1 0 4 -RP
S2 0 -17 -161 -15 0 0 10 1 -50 10RP+R3

• Solución básica actual:
S1 = 0 min -20/5 , - , -50/10
X4 = 4 min  - , - , -
S3 = -50
No tiene solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la salida.

En los ejercicios 1-4, escriba la tabla simples inicial para cada problema dado de programación lineal.
1.- Max Z= 3X1 + 7X2 Max Z- 3X1 - 7X2 =0
s.a. 3X1 – 2X2  7 s.a. 3X1 – 2X2 +S1 =7
2X1 + 5X2  6 2X1 +5X2 +S2 =6
2X1 + 3X2  8 2X1 + 3X2 + S3 =8
X1, X2  0 X1, X2 ,S1, S2 ,S3  0

VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL.
Z 1 -3 -7 0 0 0 0
S1 0 3 -2 1 0 0 7
S2 0 2 5 0 1 0 6
S3 0 2 3 0 0 1 8

2.- Max Z= 2X1 + 3X2 –4X3 Max Z- 2X1 - 3X2+4X3 =0
s.a. 3X1 – 2X2 +X3  4 s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + S1 =4
2X1 -4X2 +5X3  6 2X1 -4X2 +5X3 +S2 =6
X1, X2, X3  0 X1, X2 ,X3, S1, S2  0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOL.
Z 1 -2 -3 4 0 0 0
S1 0 3 -2 1 1 0 4
S2 0 2 -4 5 0 1 6

3.- Max Z= 2X1 + 2X2 +3X3+X4 Max Z- 2X1 - 2X2 -3X3 -X4 =0
s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + X4  6 s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + X4 + S1 = 6
X1 + X2 + X3 + X4  8 X1 + X2 + X3 + X4 +S2 = 8
2X1 - 3X2 +X3 + 2X4  10 2X1 - 3X2 + X3 + 2X4 +S3= 10
X1, X2, X3,X4  0 X1, X2 ,X3, X4, S1, S2 , S3  0

VB Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 SOL.
Z 1 -2 -2 -3 -1 0 0 0 0
S1 0 3 -2 1 1 1 0 0 6
S2 0 1 1 1 1 0 1 0 8
S3 0 2 -3 -1 2 0 0 1 10

4.- Max Z= 2X1 - 3X2 + X3 Max Z- 2X1 + 3X2 - X3 =0
s.a. X1 – 2X2 + 4X3  5 s.a. X1 – 2X2 +4X3 + S1 = 5
2X1 + 2X2 + 4X3  5 2X1 + 2X2 + 4X3 +S2 = 5
3X1 + X2 - X3  7 3X1 + X2 - X3 +S3 = 7
X1, X2, X3,  0 X1, X2 ,X3, S1, S2 , S3  0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOL.
Z 1 -2 3 -1 0 0 0 0
S1 0 1 -2 4 1 0 0 5
S2 0 2 2 4 0 1 0 5
S3 0 3 1 -1 0 0 1 7

En los ejercicios 5-11 resuelva cada problema de programación lineal mediante el método simplex. de alguno de los problemas podrían no tener una solución optima infinita.
5.- Max Z = 2X1 + 3X2 Max Z - 2X1 - 3X2 =0
s.a. 3X1 + 5X2  6 s.a. 3X1 + 5X2 +S1 = 6
2X1 +3X2  7 2X1 +3X2 +S2 = 7
X1 , X2  0 X1, X2, S1, S2  0

VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION
Z 1 -2 -3 0 0 0
S1 0 3 5 1 0 6
S2 0 2 3 0 1 7
VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION
Z 1 -1/5 0 3/5 0 18/5 3/5RP+FO
X2 0 3/5 1 1/5 0 6/5 1/5RP
S2 0 -1/5 0 3/5 -1 -17/5 3/5RP-R2
VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION
Z 1 0 1/3 2/3 0 4 1/3RP+FO
X1 0 1 5/3 1/3 0 2 5/3RP
S2 0 0 1/3 2/3 -1 -3 1/3RP+R2

• Solución básica actual:
S1 = 6 min 6/5 ,7/3
S2 = 7 min 1.2, 2.3
• Solución básica actual:
X2 = 6/5 min 6/5 / 3/5 , -17/5 / -1/5
min 2 , 17
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 4
X1* = 2
X2* , S1*,S2*=0
• Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 2(2)+3(0)=4
Z=4
• Comprobación en las restricciones:
3 (2) + 5 (0) = 6=6 ACTIVA

2 (2) +3(0) = 4< 7 INACTIVA Y DEFICIT

6.- Max Z = 2X1 + 5X2
s.a. 3X1 + 7X2  6
2 X1 + 6X2  7
3 X1 + 2X2  5
X1 , X2  0

VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -2 -5 0 0 0 0
S1 0 3 7 1 0 0 6
S2 0 2 6 0 1 0 7
S3 0 3 2 0 0 1 5
VB Z X1 X2 S1 S2 S3 SOLUCION
W 1 1/7 0 5/7 0 0 30/7 5/7RP+FO
X2 0 3/7 1 1/7 0 0 6/7 1/7RP
S2 0 4/7 0 6/7 -1 0 -13/7 6/7RP-R2
S3 0 -15/7 0 2/7 0 -1 -23/7 2/7RP-R3

• Solución básica actual:
S1 = 6 min 6/7 ,7/6 , 5/2
S2 = 7 min 0.85 ,1.16 ,2.5
S3 = 5
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 30/7
X2* = 6/7
S1* = S2* = S3*=X1*=0
• Comprobación en la función objetivo:
Min Z = 2(0) + 5(6/7)=30/7
• Comprobación en las restricciones:
3(0)+7(6/7) = 42/7=6=6 ACTIVA

2 (0) + 6(6/7) = 36/7=5.14 < 7 INACTIVA Y DEFICIT

3 (0) + 2(6/7) = 12/7 =1.71 < 5 INACTIVA Y DÉFICIT

7.- Max Z = 2X1 + 5X2 Max Z - 2X1 - 5X2 =0
s.a. 2X1 - 3X2  4 s.a. 2X1 - 3X2 +S1 = 4
X1 – 2X2  6 X1 - 2X2 +S2 = 6
X1 , X2  0 X1, X2, S1, S2  0

VB Z X1 X2 S1 S2 SOLUCION
Z 1 -2 -5 0 0 0
S1 0 2 -3 1 0 4
S2 0 1 -2 0 1 6

• Solución básica actual:
S1 = 4 min 4/-3 , 6/-2
S2 = 6 min -1.33, -3

No hay solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

8.- Max Z = 3X1 + 2X2 +4X3
s.a. X1 - X2 – X3  6
- 2 X1 + X2 -2X3  7
3 X1 + X2 –4X3 8
X1 , X2, X3  0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -3 -2 -4 0 0 0 0
S1 0 1 -1 -1 1 0 0 6
S2 0 -2 1 -2 0 1 0 7
S3 0 3 1 -4 0 0 1 8

• Solución básica actual:
S1 = 6 min 6/-1, 7/-2, 8/-4
S2 = 7 min -6, -3.5, -2
S3 = 8
No hay solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

9.- Max Z = 2X1 - 4X2 + 5X3
s.a. 3X1 + 2X2 + X3  6
3X1 - 6X2 + 7X3  9
X1 , X2 , X3  0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION
Z 1 -2 4 -5 0 0 0
S1 0 3 2 1 1 0 6
S2 0 3 -6 7 0 1 9
VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION
Z 1 1/7 -2/7 0 0 5/7 45/7 5/7RP+FO
S1 0 -18/7 -20/7 0 -1 1/7 -33/7 1/7RP-R1
X3 0 3/7 -6/7 1 0 1/7 9/7 1/7RP
VB Z X1 X2 X3 S1 S2 SOLUCION
Z 1 2/5 0 0 1/10 7/10 69/10 -1/10RP+FO
X2 0 9/10 1 0 7/20 -7/140 33/20 -7/20RP
X3 0 6/5 0 1 3/10 1/10 27/10 -3/10RP+R2

• Solución básica actual:
S1 = 6 min 6/1 , 9/7
S2 = 9 min 6 , 1.28
• Solución básica actual:
X3 = 9/7 min -33/7 / -20/7 , 9/7 / -6/7
min  33/20, -
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 69/10
X2* = 33/20
X3* = 27/10
X1* = S2=S1 = 0
• Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 2 (0) – 4(33/20)+5(27/10) = 69/10
Z = 69/10
• Comprobación en las restricciones:

3 (0) + 2(33/20)+ 27/10 = 6=6 ACTIVA

3(0)- 6(33/20) +7(27/10) =9 = 9 ACTIVA

10.- Max Z = 2X1 + 4X2 -3X3
s.a. 5X1 + 2X2 + X3  5
3X1 –2X2 +3 X3  10
4 X1 + 5X2 - X3  20
X1 , X2 , X3  0

VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 -2 -4 3 0 0 0 0
S1 0 5 2 1 1 0 0 5
S2 0 3 -2 3 0 1 0 10
S3 0 4 5 -1 0 0 1 20
VB Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 SOLUCION
Z 1 8 0 5 2 0 0 10 2RP+FO
X2 0 5/2 1 1/2 1/2 0 0 5/2 1/2RP
S2 0 8 0 4 1 1 0 15 RP+R2
S3 0 17/2 0 7/2 5/2 0 -1 -15/ 5/2RP-R3

• Solución básica actual:
S1 =5 min 5/2 ,10/-2 , 20/5
S2 = 10 min 2.5 , - , 4
S3 = 20
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 10
X2* = 5/2
S2* = 15
X1* = X4* = S1* =S3*= 0
• Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 2(0)+4(5/2)-3(0) =10
Z = 10
• Comprobación en las restricciones:

5(0)+2(5/2)+0 = 5=5 ACTIVA

3(0)-2(5/2)+3(0) = -5 < 10 INACTIVA Y DEFICIT

4(0)+5(5/2)-0 = 25/2 = 12.5 < 20 INACTIVA Y DEFICIT

11.- Max Z = X1 + 2X2 – X3 + 5X4
s.a. 2X1 + 3 X2 + X3 - X4  8
3 X1 + X2 - 4X3 + 5X4  9
X1 , X2 , X3 , X4  0

V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL.
Z 1 -1 -2 1 -5 0 0 0
S1 0 2 3 1 -1 1 0 8
S2 0 3 1 -4 5 0 1 9
V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL.
Z 1 2 -1 -3 0 0 1 9 RP+FO
S1 0 13/5 16/5 1/5 0 1 1/5 49/5 1/5RP+FO
X4 0 3/5 1/5 -4/5 1 0 1/5 9/5 1/5RP
V B Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 SOL.
Z 1 41 47 0 0 15 4 156 15RP+FO
X3 0 13 16 1 0 5 1 49 5RP
X4 0 11 13 0 1 4 1 41 4RP+R2

• Solución básica actual:
S1 = 8 min 8/-1 , 9/5
S2 = 9 min - , 1.8
• Solución básica actual:
S1 = 49/5 min 49/5 / 1/5 , 9/5 / -4/5
X4 = 9/54
• Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 156
X3* = 49
X4* = 41
X1*= X2* = S1*= S2* = 0
• Comprobación en las restricciones:
Z = 0+2(0)-49+5(41) = 156

2(0)+ 3(0) +49 -41 = 8=8 ACTIVA

3(0)+0 –4(49)+5(41) = 9 = 9 ACTIVA

Trabajos Publicados en Monografías.com por Iván Escalona
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Gráficos de Control de Shewhart
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La Familia en El derecho Civil Mexicano
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La Familia en el Derecho Positivo
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Distribución de Planta
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El Poder de la Autoestima
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Mecánica Clásica
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México de 1928 a 1934
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Etapa de la Independencia de Mexico
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UPIICSA
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Vicente Fox
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Código de Ética
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El sentido del humor en la educación
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Ingeniería de Métodos: Análisis Sistemático
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Autor:
Iván Escalona Moreno
ivan_escalona@hotmail.com
resnick_halliday@yahoo.com.mx
la_polla_records_emi@yahoo.com.mxç

Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la U.N.A.M.)
Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.) – Sexto Semestre
Ciudad de Origen: México, Distrito Federal
Profesor que revisó trabajo: Vergara Nava Leonardo (Catedrático de la Academia de Investigación de Operaciones de la U.P.I.I.C.S.A.)

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